1 . 已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求复数及.

2 . 如图，在四边形ABCD中，，，，，.

(1)求及AD的长度；
(2)求BC的长度.

3 . 2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．

质量指标值
产品

(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，）

4 . 如图，在平面四边形中，，.

   

(1)若，，，求的面积；
(2)若，，求的最大值.

5 . 某社区组织了300人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的测试.把他们的测试成绩（满分100分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为，，，，五组.

   

(1)求的值；
(2)估计这300人测试成绩的平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表）
(3)在测试成绩为，，，的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取57人，求在测试成绩为的这一组中抽取的人数.

7 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小.

8 . 如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且.

(1)证明：平面；
(2)求三棱柱被平面截得的两部分的体积.

9 . 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其周长为．已知．
(1)求角；
(2)若，D是线段上一点，，且．求a．

10 . 如图，已知四棱柱的底面为矩形，E、F分别为线段，的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，证明：．