1 . 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为，求．

2 . 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
(1)求的方程；
(2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值；
(3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

3 . 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数轴右侧部分关于轴的轴对称图形，与原函数轴的交点及轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数”例如：图①是函数的图象，则它的“新生函数”的图象如图②所示，且它的“新生函数”的解析式为，也可以写成．

(1)在图③中画出函数的“新生函数”的图象．
(2)函数的“新生函数”与直线有三个公共点，求的值．
(3)已知，，，，函数的“新生函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求的取值范围．

4 . 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为.
(1)求的方程；
(2)若，求直线与轴的交点的坐标；
(3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮.

(1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”.
（i）求及事件的概率;
（ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望;
(2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大?

6 . 平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率估计概率．

(1)为了估算曲线与x轴围成的区域M的面积，记点集表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（，结果保留一位小数）
(2)1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，．
（ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点，利用（1）的结论，求圆周率的近似值（用m，n表示）．

7 . 为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．

(1)估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．

8 . 已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．
(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；
(2)当时，证明：①；②；
(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．

9 . 如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上.

(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由.

10 . 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项   Ⅱ 随机选两个选项   Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好