1 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．

2 . 已知函数，其中．
(1)当时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．

3 . 已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对，，求正整数的最大值.

5 . 定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件．
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若．比较与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式

6 . 如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）．

(1)求证：点为弦的中点；
(2)连并延长交拋物线于点，求面积的最小值．

9 . 如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”．
(1)证明：函数为函数与在上的分割函数；
(2)若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数的取值范围；
(3)若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．