名校
解题方法
1 . 设函数
定义在区间
上，若对任意的
、
、
、
，当
，且
时，不等式
成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数
，
是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数
，
具有M性质，求证：对任意的、，且
，有
；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、
，有
，其中等号当且仅当
时成立；
②已知函数
，
具有M性质，若
、
、
为三角形
的内角，求
的最大值.
(可参考：对于任意给定实数
、
，有
，且等号当且仅当
时成立.)
定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.(1)判断函数
，是否具有M性质，并说明理由；(2)已知函数
在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数
，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数
，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数
、，有，且等号当且仅当时成立.)
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2021-12-27更新
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699次组卷
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5卷引用：上海市黄浦区2022届高三上学期一模数学试题
（已下线）上海市黄浦区2022届高三上学期一模数学试题上海市黄浦区2022届高三一模数学试题（已下线）第04讲 函数最值与性质-3上海市文来高中2023届高三上学期期中数学试题（已下线）专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）
2 . 已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，设
，
（ⅰ）证明：函数
在区间
内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为
，求证：
．
，其中．(1)讨论
的单调性；(2)若
，设，（ⅰ）证明：函数
在区间内有唯一的一个零点；（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为
，求证：．
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3 . 设数集
满足：①任意
，有
；②任意、
，有
或
，则称数集具有性质
.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、
是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出
的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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589次组卷
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7卷引用：北京市丰台区2021届高三二模数学试题
解题方法
4 . 在钝角
中，三个内角为A，B，C，满足
．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若延长
至D点，使得
，且
，求证：
为定值．
中，三个内角为A，B，C，满足．（1）证明：
是等腰三角形；（2）若延长
至D点，使得，且，求证：为定值．
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名校
5 . 设非常数数列
满足
，
，其中常数
，
均为非零实数，且
.
（1）证明：数列为等差数列的充要条件是
；
（2）已知
，
，
，
，求证：数列
与数列
中没有相同数值的项.
满足，，其中常数，均为非零实数，且.（1）证明：数列
为等差数列的充要条件是；（2）已知
，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项.
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2021-06-08更新
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791次组卷
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6卷引用：江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期二模数学试题
江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期二模数学试题（已下线）卷09 高二上学期12月阶段测-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第17题 数列解答题的两大主题：通项与求和-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类（新高考全国Ⅰ卷）（已下线）专题08 数列-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国乙卷）（已下线）查补易混易错点04 数列-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）江苏省苏州市吴江区震泽中学2022-2023学年高二10月月考数学试题
解题方法
6 . 设
为正整数，如果表达式
同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
，
；②
；③当
时，
（
）；④规定：当
时，
也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：
；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：；（3）对于任意正整数
，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
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解题方法
7 . 如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.
为
的中点，点
在
上，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）设点
在
上，且
，证明：
平面
；
（3）在（2）的条件下，判断直线
是否在平面
内，并说明理由.
中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.（1）求证：
平面；（2）设点
在上，且，证明：平面；（3）在（2）的条件下，判断直线
是否在平面内，并说明理由.
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8 . 若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
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9 . 已知数列中，，其前项的和为
，且满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：当时，
.
中，，其前项的和为，且满足．(1)求证：数列
是等差数列；(2)证明：当
时，；(3)证明：当
时，.
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10 . 曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，令
，则曲线在点
处的曲率
．已知函数
，
，且在点
处的曲率
．
（1）求
的值，并证明：当
时，
；
（2）若
，且
，求证：
．
是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．（1）求
的值，并证明：当时，；（2）若
，且，求证：．
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2021-05-02更新
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791次组卷
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4卷引用：湖南省永州市2021届高三下学期三模数学试题
湖南省永州市2021届高三下学期三模数学试题（已下线）专题3.13 不等式的证明问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）（已下线）第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点1 曲率与曲率圆（一）山西省晋城市第一中学校2024届高三上学期11月期中数学试题
