1 . 已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求证：时，；
(2)设的解为（，2，…），.
①当时，求的取值范围；
②判断是否存在，使得成立，并说明理由.

2 . 已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
(1)若满足性质，且，求的值；
(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.

3 . 定义为双曲正弦函数，为双曲余弦函数，它们是一类与三角函数类似的函数.
(1)试判断双曲正弦函数的单调性，并用定义证明；
(2)①类比同角三角函数的平方关系，试写出与的关系式，并给予证明；
②对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知指数函数过点，函数.
(1)求，的值；
(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；
(3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.

5 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

6 . 已知（其中a为常数，且）是偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小.

7 . 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足.
（1）求证：为定值；
（2）把三个实数，，的最小值记为，b，c}，若，求的取值范围；
（3）若，，求当取最大值时，的值.

8 . 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的.
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求实数的取值范围；
（3）已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数的取值范围.