1 . 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.

2 . 已知函数，而函数的图象与的图象关于轴对称.
（1）直接写出函数的解析式；
（2）令.判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：函数是定义域上的增函数.

3 . 已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：；
（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

4 . 已知函数.
(1)函数与的图像关于对称，求的解析式；
(2)在定义域内恒成立，求a的值；
(3)求证：，.

5 . 函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形；
(3)讨论函数零点的个数.

6 . 已知函数，
(1)已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求；
(2)证明；
(3)设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.

7 . 已知函数．
(1)定义，其中且，求；
(2)对于（2）中的，求证：对于任意都有．

8 . 已知函数
(1)若，求的值；
(2)证明：函数的图象关于对称；
(3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围.

9 . 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．
(1)①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式
②求函数图象对称中心的坐标;
(2)求函数图象对称中心的坐标;
(3)已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由
(4)仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题：___________
(5)已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间上的值域为则实数m的取值范围为_______________