解题方法
1 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数
在闭区间
上的图象连续不断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内存在点
，使得
成立．设
，其中
为自然对数的底数，
．易知，在实数集
上有唯一零点
，且
．
时，
；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与
轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个
作为的初始近似值，使得
，然后在点
处作曲线
的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的一次近似值；在点
处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列
．
①当
时，证明：
；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且
．请以此为前提条件，证明：
．
在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
时，；(2)从图形上看，函数
的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．①当
时，证明：；②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．
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2 . 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知函数
．
(1)若函数的对称中心为
，求函数的解析式．
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元
次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程
，在复数集内的根为，，则方程
可变形为
，展开得：
则有
，即
，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．
①若
，方程
在复数集内的根为
，当
时，求
的最大值；
②若
，函数
的零点分别为，求
的值.
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．(1)若函数
的对称中心为，求函数的解析式．(2)由代数基本定理可以得到：任何一元
次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．①若
，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值；②若
，函数的零点分别为，求的值.
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3 . 已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值并用定义证明函数
在上单调递增；
(2)若方程
在
内有解，求实数
的取值范围.
的函数是奇函数.(1)求实数
的值并用定义证明函数在上单调递增；(2)若方程
在内有解，求实数的取值范围.
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2024-03-02更新
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340次组卷
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2卷引用：江苏省东台市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
4 . 函数
的图象如图所示.
(1)写出的单调增区间（不用写过程）；
(2)求
的值；
(3)若函数
在区间
上有12个零点，求
的值.
的图象如图所示.(1)写出
的单调增区间（不用写过程）；(2)求
的值；(3)若函数
在区间上有12个零点，求的值.
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5 . 已知函数
（
且
），点
在其图象上.
(1)若函数
有最小值，求实数
的取值范围；
(2)设函数
，若存在非零实数，使得
，求实数
的取值范围.
（且），点在其图象上.(1)若函数
有最小值，求实数的取值范围；(2)设函数
，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围.
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6 . 已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数
的图象.
(1)求的解析式，并写出在
上的单调递减区间；
(2)若在区间
上恰有100个零点，求的取值范围.
（，，）的部分图象如图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象. (1)求
的解析式，并写出在上的单调递减区间；(2)若
在区间上恰有100个零点，求的取值范围.
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解题方法
7 . 已知函数
.
(1)若函数
为奇函数，求的值；
(2)当
时，用函数单调性的定义证明：函数
在
上单调递增；
(3)若函数
有两个不同的零点，求的取值范围.
.(1)若函数
为奇函数，求的值；(2)当
时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(3)若函数
有两个不同的零点，求的取值范围.
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2024-02-01更新
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783次组卷
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2卷引用：江苏省南京市2023-2024学年高一上学期期末学情调研测试数学试卷
8 . 已知函数
.
(1)证明：函数有且只有两个不同的零点；
(2)已知
，设函数的两个零点为
，试判断下列四个命题的真假，并说明理由：
①
；②
；③
；④
.
.(1)证明：函数
有且只有两个不同的零点；(2)已知
，设函数的两个零点为，试判断下列四个命题的真假，并说明理由：①
；②；③；④.
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9 . 已知函数
的定义域为
.
(1)如果不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(2)如果函数
存在两个不同的零点.
①求实数的取值范围；
②求
的最大值.
的定义域为.(1)如果不等式
恒成立，求实数的取值范围；(2)如果函数
存在两个不同的零点.①求实数
的取值范围；②求
的最大值.
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解题方法
10 . 已知函数的定义域为
，若存在常数
，使得对内的任意，
，都有
，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
，
是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设
，若
是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，
. 证明：方程
在区间
上有解.
的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数
，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设
，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
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