1 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

2 . 已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集 上的奇函数．
（1）求证：；
（2）讨论关于的方程：的根的个数；
（3）设，证明：（为自然对数的底数）．

3 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．

4 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)对任意的，求证：.

5 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

6 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程：
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：（，）.

7 . 已知函数．
(1)求证：当时，；
(2)求证：．

8 . 已知函数.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若为函数的极值点，求证：

9 . 已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：．

10 . 已知函数. 其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程;
(2)设函数 且    恒成立.
①求m的取值范围；
②的极小值点为， 求证: