名校
解题方法
1 . 给定一个
元函数组：
，若对任意正整数
，均有
，则把
称作该函数组的“初始函数”.已知
是函数组，
的“初始函数”，且
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设
，记
，数列
的前项和为
.
是三个互不相等的正整数，若
，求
除以4的余数.
元函数组：，若对任意正整数，均有，则把称作该函数组的“初始函数”.已知是函数组，的“初始函数”，且.(1)求函数
的单调区间；(2)设
，记，数列的前项和为.是三个互不相等的正整数，若，求除以4的余数.
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解题方法
2 . 已知数列
：0，2，0，2，0，现按规则
：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列
，
，则数列
的项数为________ ，设的所有项的和为，则
________ .
：0，2，0，2，0，现按规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列，，则数列的项数为的所有项的和为，则
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3 . 对于数列
，
及常数p，若满足
，且
，则称对关于p耦合．
(1)若对关于0耦合，且
，
，求
；
(2)若对关于1耦合，且
，求，的通项公式；
(3)若存在
，
，使得对关于耦合，且
对
关于耦合，证明：，
．
，及常数p，若满足，且，则称对关于p耦合．(1)若
对关于0耦合，且，，求；(2)若
对关于1耦合，且，求，的通项公式；(3)若存在
，，使得对关于耦合，且对关于耦合，证明：，．
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解题方法
4 . 已知函数
，数列满足
，
，
，则
__________ ．
，数列满足，，，则
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5 . 已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且
，
，
，
．
(1)求数列{，的通项公式；
(2)设
，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
．
是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．(1)求数列{
，的通项公式；(2)设
，（ⅰ）求
；（ⅱ）求
．
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6 . 已知
且
，函数
.
(1)记
为数列的前项和.当
时，试比较
与2024的大小，并说明理由；
(2)当
时，证明：
；
(3)当且时，试讨论
的零点个数.
且，函数.(1)记
为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；(2)当
时，证明：；(3)当
且时，试讨论的零点个数.
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解题方法
7 . 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，
，
，
. 给出下列结论：
①
；
②
；
③设
，则
；
④设
，则
有最大值，但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是（ ）
：，，，. 给出下列结论：①
；②
；③设
，则；④设
，则有最大值，但没有最小值.其中所有正确结论的个数是（ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2024·全国·模拟预测
8 . 已知数列满足
，数列的前项和为，则
（ ）
满足，数列的前项和为，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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9 . “0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列.设
是一个有限“0，1数列”，
表示把中每个0都变为
，每个1都变为
，所得到的新的“0，1数列”.例如
，则
.设
是一个有限“0，1数列”，定义
.若有限“0，1数列”
，则数列
的所有项之和为__________ .
是一个有限“0，1数列”，表示把中每个0都变为，每个1都变为，所得到的新的“0，1数列”.例如，则.设是一个有限“0，1数列”，定义.若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为
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10 . 已知等比数列的前项和为，，且
成等差数列.
(1)求
；
(2)设
，是数列的前项和，求
；
(3)设
，
是的前项的积，求证：
（为正整数）.
的前项和为，，且成等差数列.(1)求
；(2)设
，是数列的前项和，求；(3)设
，是的前项的积，求证：（为正整数）.
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