1 . 设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.

2 . 在四面体中，为中点，为外接球的球心，.
(1)证明：；
(2)若，求四面体体积的最大值.

3 . 观察数列：①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；
(2)若数列满足，为的前项和，且，求数列的周期，并求；
(3)若数列的首项，，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．

4 . 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.
   
(1)试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）
(2)已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.

5 . （1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数；
（2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米）

6 . 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式；
(2)在中，，，求面积的最大值.

7 . 三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.
(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：；
(2)若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.

8 . 已知抛物线，点在抛物线上，直线在点下方，直线l与抛物线交于B，两点.
(1)证明：内切圆的圆心在定直线上：
(2)求面积的最大值.

9 . 已知是定义域为的偶函数.
(1)求的最大值；
(2)从下面①②两个结论中任意选择一个证明，如果两个都证明，按第一个计分.
①；             
②.

10 . 已知椭圆.

(1)若在椭圆上，证明：直线与椭圆相切；
(2)如图，分别为椭圆上位于第一、二象限内的动点，且以为切点的椭圆的切线与轴围成.求的最小值.