1 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

2 . 已知椭圆:的左、右焦点分别是，，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在椭圆上，且，（为坐标原点）
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆过点，且经过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，证明：．

3 . 已知椭圆：的左焦点为，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标．

4 . 椭圆的左右焦点分别为，，O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得；
③椭圆C的离心率为；
④P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3.
则以下选项正确的是（       ）

A．①②

B．①③

C．①②④

D．①②③④

5 . 椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3.
则以下选项正确的是（       ）

A．①②

B．①③

C．①②③④

D．①②④

6 . 已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率．

7 . 已知过点的椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为．

(1)求四边形（为坐标原点）的面积的取值范围．
(2)证明，直线过定点，并求出点的坐标．

8 . 已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为___________.

9 . 椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线相互垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值.