1 . 已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合,若对于集合中的元素,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
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2 . 数列称为斐波那契数列,该数列是由意大利数学家莱昂纳多・斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,满足,则数55是该数列的第__________ 项;是斐波那契数列的第__________ 项.
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3 . 若给定一个数列,其连续两项之差构成一个新数列:,,,…,,…,这个数列称为原数列的“一阶差数列”,记为,其中.再由的连续两项的差得到新数列,,,…,,…,此数列称为原数列的“二阶差数列”,记为,其中.以此类推,可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列,则称为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”;
(2)若(且,),证明数列是“k阶等差数列”,并且若将的“k阶差数列”记作,则.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”;
(2)若(且,),证明数列是“k阶等差数列”,并且若将的“k阶差数列”记作,则.
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4 . 在如图三角形数阵中,第n行有n个数,表示第i行第j个数,例如,表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列,从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知,,(1)求m及
(2)记除以3的余数为,,的前n项为,求
(2)记除以3的余数为,,的前n项为,求
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解题方法
5 . 已知数列为等比数列,为等差数列,且,,.
(1)求,的通项公式;
(2)数列的前项和为,集合共有5个元素,求实数的取值范围;
(3)若数列中,,,求证:.
(1)求,的通项公式;
(2)数列的前项和为,集合共有5个元素,求实数的取值范围;
(3)若数列中,,,求证:.
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6 . 随着大数据时代来临,数据传输安全问题引起了人们的高度关注,国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为.
(1)试求,的值;
(2)设p,q是两个不同的素数,试用p,k表示(),并探究与和的关系;
(3)设数列的通项公式为(),求该数列的前m项的和.
(1)试求,的值;
(2)设p,q是两个不同的素数,试用p,k表示(),并探究与和的关系;
(3)设数列的通项公式为(),求该数列的前m项的和.
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7 . 在中,若,则的取值范围为( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
8 . 已知数列:0,2,0,2,0,现按规则:每个0都变为“2,0,2”,每个2都变为“0,2,0”对该数列进行变换,得到一个新数列,记数列,,则数列的项数为________ ,设的所有项的和为,则________ .
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9 . 对于数列,及常数p,若满足,且,则称对关于p耦合.
(1)若对关于0耦合,且,,求;
(2)若对关于1耦合,且,求,的通项公式;
(3)若存在,,使得对关于耦合,且对关于耦合,证明:,.
(1)若对关于0耦合,且,,求;
(2)若对关于1耦合,且,求,的通项公式;
(3)若存在,,使得对关于耦合,且对关于耦合,证明:,.
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解题方法
10 . 已知函数,数列满足,,,则__________ .
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