2024·全国·模拟预测
1 . 已知为坐标原点,抛物线上一点到其准线的距离为3,过的焦点的直线交于两点,则下列选项正确的是( )
A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 |
B.当时, |
C.为钝角三角形 |
D.的最小值为 |
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解题方法
2 . 正方体的边长为2,M,N是空间中的点,,,则( )
A.,,使得三棱锥的体积为定值 |
B., |
C.,,使得 |
D.,直线与直线所成角的最小值为 |
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解题方法
3 . 已知抛物线,过点的直线与抛物线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与相交于,两点,为上任意一点且直线,与直线分别交于,两点.求证:直线,的斜率之积是定值.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与相交于,两点,为上任意一点且直线,与直线分别交于,两点.求证:直线,的斜率之积是定值.
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4 . 已知平行六面体的所有棱长都相等,,,,,且点E,F满足,,平面α过点A,E,F,则( )
A. |
B.的面积是 |
C.平面α与平面的交线长为 |
D.点C到平面α的距离是点到平面α的距离的5倍 |
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5 . 已知双曲线:(,)的右顶点为A,点在轴的正半轴上,且,:为的一条渐近线,过点A向作一条垂线,垂足为点,四边形的面积为.
(1)求双曲线的方程.
(2)在轴上是否存在一点(异于原点),过点作直线,与双曲线相切于点,过点作直线,与双曲线交于不同的两点,,使得?
(1)求双曲线的方程.
(2)在轴上是否存在一点(异于原点),过点作直线,与双曲线相切于点,过点作直线,与双曲线交于不同的两点,,使得?
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6 . 已知抛物线:()的焦点为,,,.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)过点的直线交抛物线于点,直线与抛物线的另一个交点为,过点作直线的垂线,垂足为.已知直线与的斜率均存在,证明:存在定点,使得为定值.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)过点的直线交抛物线于点,直线与抛物线的另一个交点为,过点作直线的垂线,垂足为.已知直线与的斜率均存在,证明:存在定点,使得为定值.
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7 . 设抛物线,直线与交于,两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点为上一点,过点作抛物线的两条切线,,设切点分别为,,试求直线,斜率之积的最小值.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点为上一点,过点作抛物线的两条切线,,设切点分别为,,试求直线,斜率之积的最小值.
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解题方法
8 . 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,点在上,长轴长与短轴长之比为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设为的下顶点,过点且斜率为的直线与相交于两点,且点在线段上.若点在线段上,,证明:.
(1)求椭圆的方程.
(2)设为的下顶点,过点且斜率为的直线与相交于两点,且点在线段上.若点在线段上,,证明:.
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9 . 已知平面平面,且均与球相交,得截面圆与截面圆为线段的中点,且,线段与分别为圆与圆的直径,则( )
A.若为等边三角形,则球的体积为 |
B.若为圆上的中点,,且,则与所成角的余弦值为 |
C.若,且,则 |
D.若,且与所成的角为,则球的表面积为或 |
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10 . 已知,,点P满足,记点P的轨迹为E.直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点.
(1)无论直线l绕点怎样转动,在x轴上总存在定点,使恒成立,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求面积的最小值.
(1)无论直线l绕点怎样转动,在x轴上总存在定点,使恒成立,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求面积的最小值.
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