1 . 下图是人教版八年级下册数学教材第43页的部分内容．

如图，在中，连接，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？你能证明发现的结论吗？

(1)请你结合图写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的证明过程；
已知：如图，的对角线和相交于点O．
求证：．
证明：
(2)如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接．求证：四边形是平行四边形；

(3)如图，若，的周长是23，的周长是15，且比的长多1，比的长多1，则四边形的面积是______．

2 . 四边形是平行四边形，、相交于点O，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．

3 . 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．

4 . 如图，点是的对角线的交点，，的平分线交于点，与交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的有_______．

5 . 如图，在中，点M，N分别在边，上，且，，相交于点O．求证：．

   

6 . 如图，点E和点F分别是的和边上的点，，连接和．
求证：．

   

7 . 如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．

8 . 如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点，且．求证：．

9 . 【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）；
【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：；
【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．

   

10 . 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则菱形的面积为         ．