1 . 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
   
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．

2 . 折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究：

操作1：如图1，将矩形纸片沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕．
探究1：与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________．
操作2：取任意三角形纸片，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）．
探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）．
领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质．
应用：如图3，直线和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标．

3 . 如图1，线段及一定点，是线段上一动点（、除外），作直线，使于点，作直线，使于点.已知，，设，，数学学习小组根据学习函数的经验，对与之间的内在关系进行探究.
   
（1）写出y与之间的关系和的取值范围；
活动操作：
（2）①列表，根据（1）的所求函数关系式讲算并补全表格

	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5
			1.8			9	21

②描点：根据表格中数值，继续在图2中描出剩余的三个点；

   
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象.
数学思考：
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的一条性质或结论.
（4）将该函数图象向上移3个单位，再向左平移4个单位后，直接写出平移后的函数关系式和的取值范围.

4 . （1）方法导引：
问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．
讨论：
①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．
③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．
（2）应用方法：
①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．
②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．
③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．
         

5 . 阅读下列材料，并按要求解答．
【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．
【性质探究】
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．
（1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．

6 . 在矩形中，，，点在上，且．

（1）探究：如图①，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：和相似；
（2）应用：如图②，若交于点，，其他条件不变，且的面积是6，求的长．

7 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF
（1）若AE＝BC
①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；
（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．

8 . 某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

9 . (背景) 某班在一次数学实践活动中，对矩形纸片进行折叠实践操作，并将其产生的数学问题进行相关探究．
（操作）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点P是BC边上一点，现将△APB沿AP对折，得△APM，显然点M位置随P点位置变化而发生改变．

（问题）试求下列几种情况下：点M到直线CD的距离．
（1）∠APB=75°；   （2）P与C重合； （3）P是BC的中点．

10 . 如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？
特例求解
当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．
深入探究
当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．