解题方法
1 . 过点
，斜率为
的直线l与抛物线
相切于点N，且
.
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为
的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线
，使得点Q关于的对称点
恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.
，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且.(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为
的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.
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2023-05-20更新
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404次组卷
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2卷引用：河南省郑州市2023届高三下学期5月质量监测考试文科数学试题
名校
解题方法
2 . 已知椭圆
的中心为坐标原点，对称轴为
轴，
轴，且过
两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线
，使得直线与圆
相切，与椭圆交于
两点，且满足
（
为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．(1)求椭圆
的方程；(2)是否存在直线
，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足（为坐标原点）？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
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2023-05-19更新
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481次组卷
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8卷引用：甘肃省金昌市2023届高三二模数学(文)试题
名校
解题方法
3 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆
和横档
构成，并且
是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从
点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点
，
的影子恰好是
．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角
（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
(1)在某次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点
，
满足
．当横档的中点位于
时，记太阳高度角为
，其中
，
都是锐角．证明：
．
和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． (1)在某次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆
上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．
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2023-05-19更新
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449次组卷
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3卷引用：2023届高三新高考数学原创模拟试题
4 . 设曲线：
．已知曲线满足如下性质：曲线是双曲线，且其渐近线分别为直线
与轴．根据以上信息，可得位于第一象限的焦点坐标为________ ．
：．已知曲线满足如下性质：曲线是双曲线，且其渐近线分别为直线与轴．根据以上信息，可得位于第一象限的焦点坐标为
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解题方法
5 . 设
，函数
的定义域为．记
．两个集合，
不交指的是
．则（ ）
，函数的定义域为．记．两个集合，不交指的是．则（ ）A．若 ，则 是定义在上的偶函数 |
B．若，则在 处取到最大值 |
C．若 ，则可表示成4个两两不交的开区间的并 |
D．若 ，则可表示成6个两两不交的开区间的并 |
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6 . 数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai）和保罗·格维也纳（PaulGerwien）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
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7 . 椭圆
的短轴长为2，离心率为
，过点
的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线
分别交于点A，B，且
？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
的短轴长为2，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线
分别交于点A，B，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-05-13更新
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709次组卷
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3卷引用：河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测文科数学试题
名校
解题方法
8 . 设
表示m，n中的较小数．若函数
至少有3个零点，则实数
的取值范围是（ ）
表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-05-12更新
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816次组卷
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4卷引用：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题湖南省常德市第一中学2023届高三下学期6月模拟数学试题（已下线）第05讲 4.5.1函数的零点与方程的解（1）-【帮课堂】（已下线）第07讲 函数与方程（练习）
名校
解题方法
9 . 如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，点D是棱
的中点．
(1)求证：
∥平面
；
(2)在棱
上是否存在点M，使得直线
与平面
所成角的余弦值为
，若存在，求出
与长度的比值，若不存在，说明理由．
中，平面，，，，点D是棱的中点．(1)求证：
∥平面；(2)在棱
上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出与长度的比值，若不存在，说明理由．
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名校
解题方法
10 . 对于定义在上的函数，若存在距离为
的两条直线
和
，使得对任意
都有
恒成立，则称函数的，有一个宽度为的通道．给出下列函数：①
；②
；③
；④
．其中在区间
上存在通道宽度为1的函数有________ ．（写出所有正确的序号）
上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数的，有一个宽度为的通道．给出下列函数：①；②；③；④．其中在区间上存在通道宽度为1的函数有
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