1 . 已知函数，.
（1）若的图象在点处的切线过点，求的值；
（2）若在上为减函数，求的取值范围；

2 . 已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围.

3 . 已知的一个极值点为2.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.

4 . 已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．

5 . 已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）证明：（，且）.

6 . 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 平面直角坐标系中，椭圆，抛物线.设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.

（1）求证：点在定直线上；
（2）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值.

8 . 已知，；：函数有两个零点.
（1）写出命题；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

9 . 设函数．
（1）求的最小值；
（2）设，证明：有唯一极小值点，且．

10 . 已知函数，若在处的切线方程为.
（1）求，；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.