1 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

2 . 已知函数，，
(1)若，证明：．
(2)若，
①证明：函数存在唯一的极值点．
②若，且，证明：．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点．
(1)若直线过左焦点，求的周长；
(2)若直线过点，求的取值范围；．

4 . 已知椭圆C：过点，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，，求直线l的方程．

5 . 已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．

6 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

7 . 已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.

9 . 已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

10 . 已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.