1 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

2 . 已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．

3 . 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.
   
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.

4 . 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.

5 . 如图所示四棱锥中，平面平面，，四边形为等腰梯形，，，E为的中点
   
(1)求证：平面
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值

6 . 已知在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长．

7 . 在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，平面，且．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．

8 . 如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点．

9 . 已知直三棱柱中，为正三角形，，点在棱上，且，平面AEF.

(1)求证：F为BC的中点；
(2)求二面角的余弦值.

10 . 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.
(1)当面积最大时，求的方程；
(2)求证：.