1 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，将三棱锥的侧棱放到平面内，，，，，平面平面.
   
(1)证明：平面⊥平面；
(2)若，平面与平面夹角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.

3 . 已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.

4 . 如图，四边形ACC₁A₁与四边形BCC₁B₁是全等的矩形，．
   
(1)若P是AA₁的中点，求证:平面PB₁C₁⊥平面PB₁C;
(2)若P是棱AA₁上的点，直线BP与平面ACC₁A₁所成角的正切值为，求二面角B₁﹣PC﹣C₁的余弦值．

5 . 已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.
(1)设的斜率分别为，求证：为定值；
(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

7 . 如图所示，在正四棱锥中，底面的中心为，于，与交点为，.

   

(1)求证：平面.
(2)求二面角的正弦值.

8 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

9 . 已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．

10 . 如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，．
   
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．