1 . 如图，正方体中，为底面的中心，为棱上一点．

(1)证明：平面；
(2)若平面，求证：为棱的中点．

2 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

3 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

4 . 已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）是否存在正数的值使得对任意 恒成立？证明你的结论.
（3）求证：在上有且仅有两个零点.

5 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

6 . 设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列；
（3）证明：“数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．

7 . 如果无穷数列{a_n}满足条件：①；② 存在实数M，使得a_n≤M，其中n∈N^*，那么我们称数列{a_n}为Ω数列.
（1）设数列{b_n}的通项为b_n＝20n－2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，c₃＝，S₃＝，证明：数列{S_n}是Ω数列；
（3）设数列{d_n}是各项均为正整数的Ω数列，求证：d_n≤d_n＋1.

8 . 已知数列满足：（为常数），数列中，．
⑴求；
⑵证明：数列为等差数列；
⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数．

9 . 设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．

10 . 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求二面角的正切值.