1 . 设，是不超过x的最大整数，当时，的位数记为，例如：，．
(1)求；（注）
(2)当时，记由曲线，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求数列的前n项和；
(3)当，时，证明：．

2 . 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（       ）

A．点的运动轨迹为一条线段

B．直线与所成角可以为

C．三棱锥的体积是定值

D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为

3 . 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．

4 . 已知函数随机变量，随机变量，的期望为.
(1)当时，求；
(2)当时，求的表达式.

5 . 在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个.
(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；
(2)求这n个点能确定的直线的条数；
(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.

6 . 在直角坐标系中，已知点，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（       ）

A．动点的轨迹方程为

B．当时，三点共线

C．对任意点（除原点外），都有

D．设，则的最小值为4

7 . 如图：等边三角形的边长为3，，．将三角形沿着折起，使之成为四棱锥．点满足，点在棱上，满足．且．

(1)求到平面的距离；
(2)求面与面夹角的余弦值；
(3)点在面的正射影为点，求与平面夹角的正弦值．

8 . 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和；

9 . 已知是函数的极值点.
(1)求；
(2)证明：有两个零点，且其中一个零点；
(3)证明：的所有零点都大于.

10 . 设,则（       ）

A．

B．

C．

D．