名校
解题方法
1 . 设函数
，
．
(1)判断函数
的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
(2)求证：
；
(3)若
在区间
上的最小值为
，求
的值．
，．(1)判断函数
的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；(2)求证：
；(3)若
在区间上的最小值为，求的值．
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昨日更新
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174次组卷
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2卷引用：安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学（B卷）试题
解题方法
2 . 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设
是直线
上互异且非无穷远的四点，称
（分式中各项均为有向线段，如
）为的交比，记为
．
(1)求证：
；
(2)若
为平面上过
且互异的四条直线，
为不过点且互异的两条直线，
与的交点分别为
，
与的交点分别为
，证明：
.
是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为．(1)求证：
；(2)若
为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：.
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解题方法
3 . 已知点为圆
上任意一点，
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，设点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于
，
两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：
是定值.
为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)若过点
的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.（i）证明：直线
与曲线有且仅有一个交点；（ii） 求证：
是定值.
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名校
4 . 已知函数
.
(1)求证
；
(2)求方程
解的个数；
(3)设
，证明
.
.(1)求证
；(2)求方程
解的个数；(3)设
，证明.
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名校
解题方法
5 . 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数
，若函数的
阶导数存在，函数在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，其中
为函数的
阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为
．例如，
．
(1)证明：当
时，
；
(2)当
时，比较
与
的大小；
(3)数列
满足
，记
，求证：
．
，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．(1)证明：当
时，；(2)当
时，比较与的大小；(3)数列
满足，记，求证：．
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2024-08-08更新
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221次组卷
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3卷引用：湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2023-2024学年高三下学期五月模拟考试数学试卷
名校
6 . 对于函数，若实数
满足
，则称为的不动点．已知函数
．
(1)当
时，求证
；
(2)当
时，求函数的不动点的个数；
(3)设
，证明
．
，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．(1)当
时，求证；(2)当
时，求函数的不动点的个数；(3)设
，证明．
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2024-07-01更新
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379次组卷
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2卷引用：2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量数据监测文数试卷
7 . 已知动圆M经过定点
，且与圆
内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为
，
.
（i）求证：
为定值；
（ii）设直线
，证明：直线PQ过定点.
，且与圆内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：
为定值；（ii）设直线
，证明：直线PQ过定点.
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名校
8 . 对于函数
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为
，如果可以找到一步步逼近的，
，
，
，
，使得当
时，
，则可把看做函数
的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与
轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在
处的切线的斜率为
，由此写出切线方程
，因为
，所以令
得切线与轴交点的横坐标
，同理得
，
，以此类推，可以得到
.
(1)对于函数，当
时，求，的值；
(2)已知函数
的定义域R.
①对于函数，若
为公差不为零的等差数列，求证：无零点；
②当
时，运用“牛顿法”证明：
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.(1)对于函数
，当时，求，的值；(2)已知函数
的定义域R.①对于函数
，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；②当
时，运用“牛顿法”证明：
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名校
解题方法
9 . 定义：若椭圆
上的两个点
满足
，则称
为该椭圆的一个“共轭点对”，记作
．已知椭圆
的一个焦点坐标为
，且椭圆过点
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点
满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是
，设
为坐标原点，点
在椭圆上，且
，
顺时针排列且
，证明：四边形
的面积小于
．
上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点
满足“共轭点对”，并求出的坐标；(3)设（2）中的两个点
分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
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227次组卷
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5卷引用：四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题
四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题四川省遂宁市蓬溪中学校2025届高三开学摸底联考数学试卷河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题（已下线）重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类（七大题型）（已下线）拔高点突破03 圆锥曲线背景下的新定义问题（八大题型）
10 . 已知函数
为
的导函数，已知曲线
在
处的切线的斜率为3.
(1)求
的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)若对任意两个正实数
，且
，有
，求证：
.
为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.(1)求
的值；(2)证明：当
时，；(3)若对任意两个正实数
，且，有，求证：.
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