名校
1 . 给定两组数据与,称为这两组数据之间的“差异量”.鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目.现有个古董,它们的价值各不相同,最值钱的古董记为1号,第二值钱的古董记为2号,以此类推,则古董价值的真实排序为.现在某专家在不知道古董真实排序的前提下,根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为,其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号,记,那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平,该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强.
(1)当时,求的所有可能取值;
(2)当时,求满足的的个数;
(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝,已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为,专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4,那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为?请说明理由.
(注:实数满足:,当且仅当时取“”号)
(1)当时,求的所有可能取值;
(2)当时,求满足的的个数;
(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝,已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为,专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4,那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为?请说明理由.
(注:实数满足:,当且仅当时取“”号)
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2 . 组合数学研究的内容之一是计数,母函数是重要的计数工具之一.其定义如下:对于序列,定义为序列的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似:假设有红、黄、蓝各一个小球,计算由它们组成的所有组合的个数,可考虑三步完成,即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与,x代表小球参与,根据分类加法计数原理,代表一个小球是否参与组合的两种情况,根据分步乘法计数原理,用代数式表示三个小球是否参与组合的情况,所以母函数为,例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数,而总的组合个数就是.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
(1)假设有四个不同的小球,令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数,试写出的一个与问题对应的母函数;
(2)已知,其中.现有一序列的母函数,其中,证明:;
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数,令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数,分别写出和的与问题对应的母函数和,并求总的组合个数.
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3 . 在不大于的正整数中,所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
(1)求,的值;
(2)对于,,是否存在m,n,p,使得?若存在,求出m,n,p的值;若不存在,请说明理由;
(3)记表示不超过的最大整数,且,求的值.
(1)求,的值;
(2)对于,,是否存在m,n,p,使得?若存在,求出m,n,p的值;若不存在,请说明理由;
(3)记表示不超过的最大整数,且,求的值.
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2024-06-07更新
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645次组卷
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3卷引用:安徽省合肥市第八中学2024届高三下学期艺术生文科数学最后一卷
4 . 若为上的非负图像连续的函数,点将区间划分为个长度为的小区间.记,若无穷和的极限存在,并称其为区域的精确面积,记为.(1)若有导函数,则.求由直线以及轴所围成封闭图形面积;
(2)若区间被等分为个小区间,请推证:.并由此计算无穷和极限的值;
(3)求有限项和式的整数部分.
(2)若区间被等分为个小区间,请推证:.并由此计算无穷和极限的值;
(3)求有限项和式的整数部分.
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2024-06-04更新
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293次组卷
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3卷引用:安徽省合肥一六八中学2024届高三最后一卷数学试题
名校
5 . 贝塞尔曲线(Be'zier curve)是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线.它最早来源于Bernstein多项式.引入多项式,若是定义在上的函数,称,为函数的n次Bernstein多项式.
(1)求在上取得最大值时x的值;
(2)当时,先化简,再求的值;
(3)设,在内单调递增,求证:在内也单调递增.
(1)求在上取得最大值时x的值;
(2)当时,先化简,再求的值;
(3)设,在内单调递增,求证:在内也单调递增.
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名校
解题方法
6 . 给定自然数且,设均为正数,(为常数),.如果函数在区间上恒有,则称函数为凸函数.凸函数具有性质:.
(1)判断,是否为凸函数,并证明;
(2)设,证明:;
(3)求的最小值.
(1)判断,是否为凸函数,并证明;
(2)设,证明:;
(3)求的最小值.
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名校
7 . 函数有两零点,且,记函数的极小值点为,则下列说法正确的是( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
解题方法
8 . 若正实数数列满足,则称是一个对数凸数列;若实数列满足,则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列,.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
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2024-05-16更新
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760次组卷
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3卷引用:安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题
9 . 某公园计划改造一块四边形区域建设草坪(如图),其中百米,百米,.草坪内需要规划4条人行道,以及两条排水沟.其中分别是边的中点.(1)若,求排水沟的长;
(2)设条人行道总长度记为.
(i)求出函数的表达式;
(ii)当取多少时,有最大值,并求出这个最大值.
(2)设条人行道总长度记为.
(i)求出函数的表达式;
(ii)当取多少时,有最大值,并求出这个最大值.
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名校
10 . 已知曲线在点处的切线为.
(1)求直线的方程;
(2)证明:除点外,曲线在直线的下方;
(3)设,求证:.
(1)求直线的方程;
(2)证明:除点外,曲线在直线的下方;
(3)设,求证:.
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2024-04-26更新
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1561次组卷
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6卷引用:安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷