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解题方法
1 . 现有
个编号为
的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组
个． 设甲组中小球的最小编号为
,最大编号为
；乙组中小球的最小编号为
,最大编号为
记
,
(1)当
时,求
的分布列和数学期望；
(2)令
表示“事件与
的取值恰好相等”．
①求事件发生的概率
；
②证明：
个编号为的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组个． 设甲组中小球的最小编号为,最大编号为；乙组中小球的最小编号为,最大编号为 记,(1)当
时,求的分布列和数学期望；(2)令
表示“事件与的取值恰好相等”．①求事件
发生的概率；②证明：
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2 . 已知动圆
与圆
：
和圆
：
都内切，记动圆圆心的轨迹为
.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为
，则曲线上一点
处的切线方程为：
.试运用该性质解决以下问题：点
为直线
上一点（不在
轴上），过点作的两条切线
，
，切点分别为
，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）点关于轴的对称点为
，直线
交轴于点
，直线
交曲线于
，
两点.记
，
的面积分别为
，
，求
的取值范围.
与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.(1)求
的方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为
，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.（ⅰ）证明：
；（ⅱ）点
关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
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3 . 已知①设函数
的值域是
，对于中的每个
，若函数
在每一处都等于它对应的，这样的函数
叫做函数的反函数，记作
，我们习惯记自变量为，因此可改成
即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且
．如
的反函数是
可改写成
即为的反函数，与互为反函数．②
是定义在
且取值于的一个函数，定义
，则称
是函数在上的次迭代．例如
，则
．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和
，若函数
的反函数
存在，且有
，称与关于相似，记作
，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若
为的一个不动点，即
，则
为的一个不动点．
(1)若函数
，求（写出结果即可）
(2)证明：若，则
．
(3)若函数
，求（桥函数可选取
），若
，试选取恰当桥函数，计算
．
的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：（i）若
，则（ii）若
为的一个不动点，即，则为的一个不动点．(1)若函数
，求（写出结果即可）(2)证明：若
，则．(3)若函数
，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．
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解题方法
4 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地双曲正弦函数 
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；
②平方关系
；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数
图象总在直线
的上方，求实数
的取值范围；
(3)若
，证明：
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；②平方关系
；③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；(3)若
，证明：
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2024-06-10更新
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368次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市西湖高级中学2024届高三下学期数学模拟预测数学试题
5 . 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（为的质因数个数，
为质数，
，
），例如：
，对应
，
，
，
，
，
，
.现对任意
，定义莫比乌斯函数
.
(1)求
，
；
(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的值（用
（）表示）.
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.(1)求
，；(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.（ⅰ）证明：
；（ⅱ）求
的值（用（）表示）.
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名校
解题方法
6 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
. 已知
在处的
阶帕德近似为
.注：
，
，
，
，…
(1)求实数
的值；
(2)当
时，试比较与
的大小，并证明；
(3)定义数列
：
，
，求证：
.
，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…(1)求实数
的值；(2)当
时，试比较与的大小，并证明；(3)定义数列
：，，求证：.
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2024-05-31更新
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677次组卷
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3卷引用：浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷
名校
7 . 已知数列
，其前n项和为
，若存在常数
，对任意的
，恒有
，则称为
数列.则下列说法正确的是（ ）
，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（ ）A．若是以1为首项， 为公比的等比数列，则为数列 |
B．若为数列，则 也为数列 |
| C．若为数列，则也为数列 |
D．若 均为数列，则 也为数列 |
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8 . 对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得
，其中
，我们记
．对任意正整数
，定义的生成数列为
，其中
．
(1)求
和
．
(2)求
的前3项．
(3)存在
，使得
，且对任意
成立．考虑
的值：当
时，定义数列的变换数列
的通项公式为
当
时，定义数列的变换数列的通项公式为
若数列和数列
相同，则定义函数
，其中函数
的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数是增函数．
（ⅱ）求证：
．
，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．(1)求
和．(2)求
的前3项．(3)存在
，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．（ⅰ）求证：函数
是增函数．（ⅱ）求证：
．
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9 . 如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形
内运动（包含边界），点
在线段
上运动（不包括端点），则（ ）
在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（ ）
A．异面直线 与 不可能垂直 |
B．当 时，点M的轨迹长度是 |
C．该八面体被平面 所截得的截面积既有最大值又有最小值 |
D．凡棱长不超过 的正方体均可在该八面体内自由转动 |
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解题方法
10 . 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列
，
，定义无穷数列
，记作
，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即
中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律
．
，
，，求
，
，
，
；
(2)对
，定义
如下：①当
时，
；②当
时，为满足通项
的数列
，即将的每一项向后平移
项，前项都取为0．试找到数列
，使得
；
(3)若，，证明：当
时，
．
，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．
，，，求，，，；(2)对
，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；(3)若
，，证明：当时，．
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