解题方法
1 . 如图，七面体
中，菱形
所在平面与矩形
交于
，平面
与平面
交于直线
．
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当
为何值时，平面
平面
？并证明你的结论．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线．
；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当
为何值时，平面平面？并证明你的结论．条件①：
；条件②：
．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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解题方法
2 . 欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△
的外心、重心、垂心．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
如图，点O、G、H分别为△
的外心、重心、垂心． (1)求证：
；(2)求证：
；(3)求证：
．注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
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3 . 如图1，在
中，
分别为
的中点.将
沿
折起到
的位置（
与
不重合），连
，如图2.
平面
；
(2)若平面
与平面
交于过的直线
，求证
；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由.
中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.
平面；(2)若平面
与平面交于过的直线，求证；(3)线段
上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由.
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2024-07-13更新
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620次组卷
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3卷引用：北京市怀柔区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷
解题方法
4 . 如图，若
内一点P满足
，则称P为的布罗卡尔点．若设
，则称
为布罗卡尔角．是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求
的外接圆的半径；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且
．证明：
；
(3)在中，记的布罗卡尔角为，若
，求证：
．
内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径；(2)在
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：；(3)在
中，记的布罗卡尔角为，若，求证：．
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名校
解题方法
5 . 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如
可以通过拆角转化为
，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角
的对边分别为
．
；
(2)求角
的大小；
(3)若点
是边（不包含端点）上的一动点，过点
向直线
作垂线，垂足为
，已知
，求证：
．
可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为．
；(2)求角
的大小；(3)若点
是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：．
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名校
解题方法
6 . 如图（1），在梯形PBCD中，
，
，A是PD中点，现将
沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．
平面PAB；
(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面
平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．
平面PAB；(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面
平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
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2024-07-09更新
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1227次组卷
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6卷引用：辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（已下线）6.2 空间几何中的平行与垂直（已下线）空间直线、平面的平行02-一轮复习考点专练内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）压轴专题01 线面平行，垂直证明中补全条件问题-【常考压轴题】（沪教版2020必修第三册）四川省内江市第六中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
解题方法
7 . 如图，
平面，底面为矩形，
，点是棱
的中点.
；
(2)若
，
分别是
，上的点，且
，为
上任意一点，试判断：三棱锥
的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.
平面，底面为矩形，，点是棱的中点.
；(2)若
，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.
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名校
8 . 如图，四边形
为矩形，四边形为梯形，平面
平面，
，
，
.为
的中点，求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的大小；
(3)设平面
平面
，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论．
为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，.
为的中点，求证：平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值的大小；(3)设平面
平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论．
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名校
9 . n个有次序的实数
，
，…，
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量
，若
，称
为n维信号向量.设，
，则和
的内积定义为
，且
.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，
，…，
满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
.
，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.
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2024-03-25更新
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560次组卷
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3卷引用：宁夏银川市第九中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
名校
10 . 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，
，
，点在线段
上.为的中点，求证：
平面
；
(2)求二面角
的正切值；
(3)证明：存在点，使得
平面
，并求
的值.
和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上.
为的中点，求证：平面；(2)求二面角
的正切值；(3)证明：存在点
，使得平面，并求的值.
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2024-06-22更新
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745次组卷
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2卷引用：浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期统测适应性考试数学试卷
