1 . 已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为_________.

2 . 记为等比数列的前项的和，若，，则________.

3 . 设函数，曲线在点处的切线为.则函数的解析式为_______.

4 . 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是__________.

5 . 2025的正因数有________个．

6 . 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．________；若存在实数a，b，c，对任意的不小手4的正整数n，都有，则________．

7 . 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和______.

8 . “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示）

9 . 已知函数，若，则当取得最小值时，________．

10 . 已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为______．