1 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为5，求BQ的长．

2 . 如图，在直三棱柱中，，，，.

(1)当时，求证：平面；
(2)设二面角的大小为，求的取值范围.

3 . 在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面⊥平面.
(2)过O点作一个平面，使得平面平面ACD，请画出这个平面，并说明理由.
(3)若，平面平面，求点到平面的距离.

4 . 如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和，

(1)求证：平面平面；
(2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由；
(3)求二面角的正切值的最大值．

5 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不同的根．
(i)求的取值范围；
(ii)证明：．

6 . 在四棱锥中，．

   

(1)求证：
(2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值．

7 . 已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．

8 . 已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．

9 . 如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，．

(1)求证：平面；
(2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由．

10 . 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的面积．