1 . 对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分数列；记
，称数列
为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于
，记
，规定：
，称
为数列的
阶差分数列．对于数列，如果
（
为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用
表示
，并归纳出表示
的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前
项和为
；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？(2)请用
表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列
为阶等差数列，则其前项和为；(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
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2 . 已知动圆
经过定点
，且与圆
：
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程；
(2)设轨迹与
轴从左到右的交点为
，
，点
为轨迹上异于，的动点，设
交直线
于点
，连接
交轨迹于点
，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心
的轨迹的方程；(2)设轨迹
与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：
为定值；②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
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2024-01-11更新
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630次组卷
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11卷引用：吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考数学试题
名校
3 . 如图，在长方体
中，点
、
分别在
、
上，且
，
.
平面
；
(2)设
，
，
，求平面与平面
所成的锐二面角的大小.
中，点、分别在、上，且，.
平面；(2)设
，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小.
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4 . 基本不等式：对于2个正数
，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即
，当且仅当
时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数
，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
.当且仅当
时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①
；②为单调数列，则称数列具有性质.
(1)若
；求数列的最小项；
(2)若数列
的前项和为
，判断数列
是否具有性质，并说明理由；
(3)若
，求证：数列
具有性质.
，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，.当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质.(1)若
；求数列的最小项；(2)若数列
的前项和为，判断数列是否具有性质，并说明理由；(3)若
，求证：数列具有性质.
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解题方法
5 . 如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面
，
，点为
中点．
(1)求证：
// 平面
；
(2)点为棱
上一点，直线
与平面所成角的正弦值为
，求
的值．
的底面为正方形，底面，，点为中点．(1)求证：
// 平面；(2)点
为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
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6 . 设点 是椭圆 
上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆
交于 
两点.
(1)求证：
;
(2)
的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.(1)求证：
;(2)
的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
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2024-02-05更新
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1468次组卷
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6卷引用：四川省成都市第七中学2024届高三下学期入学考试数学（文）试题
7 . 已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，求证：当
时，
恰有两个零点.
.(1)讨论
的单调性；(2)设
，求证：当时，恰有两个零点.
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2024-01-24更新
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873次组卷
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4卷引用：四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期入学考试数学（理）试题
四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期入学考试数学（理）试题湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题（已下线）5.3.1函数的单调性 第二练 强化考点训练（已下线）重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点（7题型+满分技巧+限时检测）
名校
8 . 三棱柱
中，
别为
中点，且
.
平面
；
(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
中，别为中点，且.
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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2024-01-05更新
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841次组卷
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3卷引用：高三数学开学摸底考02（新高考专用）
9 . 已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线
的方程；(2)已知动直线
过点
，交抛物线于、两点，坐标原点
为中点，求证：
；(3)是否存在垂直于
轴的直线
被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．
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解题方法
10 . 函数
图像与轴的两交点为
(1)令
，若
有两个零点，求实数
的取值范围；
(2)证明：
；
(3)证明：当
时，以
为直径的圆与直线
恒有公共点．
（参考数据：
）
图像与轴的两交点为(1)令
，若有两个零点，求实数的取值范围；(2)证明：
；(3)证明：当
时，以为直径的圆与直线恒有公共点．（参考数据：
）
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