名校
1 . 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球
次，红球出现
次．假设每次摸出红球的概率为
，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为
．
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为
，则
．
（注：
表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为
的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得 的取值达到最大时的 ，作为的估计值，记为
，请写出的值．
(2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数
构建对数似然函数
，再对其关于参数求导，得到似然方程
，最后求解参数的估计值．已知
的参数的对数似然函数为
，其中
．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．（注：
表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
| ||
|
|
|
的，作为的估计值，记为，请写出的值．(2)把（1）中“使得
的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
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201次组卷
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7卷引用：重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题
重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题吉林省长春市实验中学2024届高三下学期对位演练考试数学试卷（一）（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总贵州省贵阳市第一中学等校2024届高三下学期三模数学试题山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题（已下线）专题02 高二下期末真题精选（压轴题 ）-高二期末考点大串讲（人教A版2019）
名校
解题方法
2 . 已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，经过点且倾斜角为
的直线
与椭圆交于
、
两点（其中点在
轴上方），
的周长为8．的标准方程；
(2)如图，将平面
沿轴折叠，使
轴正半轴和轴所确定的半平面（平面
）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面
）互相垂直．
（i）若
，求异面直线
和
所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
的标准方程；(2)如图，将平面
沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．（i）若
，求异面直线和所成角的余弦值；（ii）是否存在
，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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2024-06-10更新
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797次组卷
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4卷引用：重庆市开州中学2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题（四）
重庆市开州中学2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题（四）广东省惠州市2024届高三下学期模拟考试（一模）数学试题（已下线）大招2 空间几何体中空间角的速破策略（已下线）广东省阳江市2024届高三下学期5月模拟数学试题
名校
3 . 函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数有两个极值点
，曲线
上两点
，
连线斜率记为k，求证：
；
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)若函数
有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：
．
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2024-04-22更新
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1288次组卷
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3卷引用：重庆市第八中学2024届高三下学期高考强化训练一数学试题
重庆市第八中学2024届高三下学期高考强化训练一数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期第七次模拟考试数学试卷
4 . 在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组
表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组
表示，一般地在
维空间中点A的坐标可用n个有序数组
表示，并定义n维空间中两点
，
间的“距离”
．
(1)若
，
，求
；
(2)设集合
．元素个数为2的集合M为
的子集，且满足对于任意
，都存在唯一的
使得
，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．(1)若
，，求；(2)设集合
．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
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解题方法
5 . 在如图所示的四棱锥P
ABCD中，已知
，
，
，
是正三角形，点M在侧棱PB上且使得
平面
．
；
(2)若侧面
底面
，
与底面所成角的正切值为
，求二面角
的余弦值．
ABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．
；(2)若侧面
底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
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6 . 在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若
，且
，求AP的最小值．
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；
(2)若
，且，求AP的最小值．
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解题方法
7 . 如图，已知椭圆C：
的离心率为，直线
恒过右焦点F，交椭圆于
，
两点，且
．
(2)求
的最小值．
的离心率为，直线恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且．
(2)求
的最小值．
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名校
8 . 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（
且
）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用
表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（
且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用
表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
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2024-03-23更新
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2739次组卷
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9卷引用：重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题
重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题重庆市涪陵第五中学校2024届高三下学期第二次适应性考试数学试题重庆市第十一中学校2023-2024学年高三第九次质量检测数学试题河北省沧州市沧县中学2024届高三下学期3月高考模拟测试数学试题贵州省安顺市第二高级中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总广东省广雅中学2024届高三下学期高考考前适应性考试数学试题（已下线）概率、随机变量及其分布-综合测试卷A卷（已下线）第七章 随机变量及其分布总结 第三练 方法提升应用
名校
9 . 已知函数
.
(1)讨论的单调性；
(2)若
，求
.
.(1)讨论
的单调性；(2)若
，求.
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2024-02-24更新
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2657次组卷
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7卷引用：重庆市九龙坡区育才中学校2024届高三下学期阶段测试数学试题
重庆市九龙坡区育才中学校2024届高三下学期阶段测试数学试题陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试文科数学试题海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高三下学期高中教学第三次大课堂练习数学试题（已下线）第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试卷-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）广东省梅州市梅雁中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题广东省惠州市博罗县博罗中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题河南省信阳市商城县上石桥高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）.
（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程
（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014
2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为
，求随机变量的分布列与数学期望.
参考数据：
.
参考公式: 对于一组数据
，其回归直线方程 
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
全体居民人均可支配收入 （元） | 18352 | 20110 | 22034 | 24153 | 26386 | 28920 | 30824 | 33803 | 35666 |
（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014
2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望.参考数据：
.参考公式: 对于一组数据
，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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2024-02-20更新
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866次组卷
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6卷引用：重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷（六）数学试题
重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷（六）数学试题（已下线）专题13 成对数据的统计分析（七大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（单元重点综合测试）(19题新结构）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9．1 线性回归分析（3）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（基础版）
