1 . 1712年英国数学家布鲁克·泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算，函数拟合，计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：



其中，读作的阶乘.
1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下创造了人类数学最美妙的公式，即欧拉公式，特别的欧拉恒等式被后世称为“上帝公式”.欧拉公式建立了复数域中指数函数与圆函数（正余弦函数）的关系，利用欧拉公式还可以完成圆的等分，即棣莫弗定理的应用.
(1)请写出复数的三角形式，并利用泰勒展开式估算出的3阶近似值（精确到0.001）；
(2)请根据上述材料证明欧拉公式，并计算与；
(3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中.

2 . 为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的. “生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%. 记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中.
(1)证明：；
(2)直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于.
附：，.

3 . 如图，在中，为钝角，，，．过点作的垂线，交于点，为延长线上一点，连接，若．

(1)求边的长；
(2)证明：；
(3)设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．

5 . 已知分别是对边，且．点为三角形内部一点，且满足．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的最小值．

6 . 我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.

(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作等边，且在上方.
（ⅰ）求线段长度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范围.

7 . 如图，有一个正方形为底面的正四棱锥，各条边长都是1；另有一个正三角形为底面的正三棱锥，各条边长也都是1.

(1)在四棱锥中，求与平面所成角的正弦值，并求二面角的平面角的正弦值；
(2)现把它俩其中的两个三角形表面用胶水黏合起来，如黏合面和面.试问：由此而得的组合体有几个面？请说明理由.

8 . 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
(1)求∠BAC；
(2)若，，，求C的坐标；
(3)记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．

9 . 情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等.
(1)若，，求的分布列；
(2)若，证明的数学期望与n无关；
(3)若，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由.

10 . 已知点，在抛物线上.
(1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离；
(2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积.