1 . 炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知为直角三角形，四边形为直角梯形，，，曲线是以为圆心的四分之一圆弧，，，，，将平面图形旋转一周得到小明设计的甜筒．

(1)求该甜筒的体积；
(2)小明准备将矩形旋转所形成的几何体都用来盛装冰淇淋（如图2所示），该矩形内接于图形，在弧上（不与端点重合），点在线段上，与所在的直线重合，设，求：
①盛装冰淇淋容器的体积；（用表示）
②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间与盛装的体积满足关系，请计算这个冰淇淋完全融化需要的最长时间．
(3)小明想给甜筒一些新的装饰，如果修改后的甜筒俯视图如图3所示，且通过拼装后可以变成一个正四棱锥（即俯视图可以看作一个正四棱锥的展开图），我们记侧棱的长为1，，正四棱锥的表面积记作，体积记作．求（将其表示为的形式，其中为常数）．

2 . 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．

3 . 双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
(1)若的一条渐近线为，求的方程；
(2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．

4 . 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
(1)数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值；
(2)依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和；
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）

5 . 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数值为在点的二阶导数，记作．若在开区间I内的每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作．曲线上任意两点间的弧段总在这两点的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数．连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．拐点在统计学，物理学，经济学领域都有重要的应用．若函数在定义域内是一条连续不断的曲线，对任意的，的导函数都存在，且的导函数也都存在，若，使得，且在的左右附近，异号，则称点为曲线的拐点．已知函数，，．
(1)求在定义域内的拐点个数；
(2)若在上有唯一拐点，求实数k的取值范围；
(3)函数在区间恰有一个拐点，求实数a的取值范围．

6 . 已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
(3)证明：．

7 . 已知，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)记，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围.

8 . 函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）.
(1)证明：在处的极限为；
(2)若，，，求的最大值；
(3)若，用函数极限的定义证明：.

9 . 平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．
(1)若，求的分布列；
(2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望；
(3)当时，求的最小值，使得．
（参考公式：若，则）

10 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分.
(1)求的分布列；
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.
①证明：；
②若，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.