1 . 已知函数．
(1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若的两个极值点分别为，证明:．

2 . 已知椭圆的离心率为，点在上，的长轴长为.
(1)求的方程；
(2)已知原点为，点在上，的中点为，过点的直线与交于点，且线段恰好被点平分，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

3 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若有2个极值点，求证：.

4 . 已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线AB的斜率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轨迹交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

6 . 已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知函数，且的图象过点.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的最小值；
(3)若，比较与的大小.

9 . 已知椭圆的离心率，短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的动直线与椭圆交于、两点，点是直线上一定点，设直线、的斜率分别为、，若为定值，求点的坐标.

10 . 某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
(1)用表示，并求使数列是等比数列的实数．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．