1 . 已知函数．
(1)当时，判断在的单调性；
(2)设，证明：．

2 . 已知函数．
(1)若时，求函数的定义域；
(2)若函数有唯一零点，求实数a的取值范围；
(3)若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数a的取值范围．

3 . 设函数.
(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.
(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.

4 . 已知函数（），.
（1）当时，与在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（2）设，是函数的两个零点，且，求证：.

5 . 已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）当且，求证：.

6 . 已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．

7 . 已知函数在处的导数为0.
（1）求的值和的最大值；
（2）若实数，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

8 . 已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，.

9 . 已知函数．   
（Ⅰ）当时，讨论的单调性.
（Ⅱ）若的两个极值点为，且，求 的最小值.

10 . 已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)求的单调区间；
(2)当时若方程存在两个不同的根，求证: