1 . 已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:

2 . 已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.

3 . 有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．

4 . 已知有限集，若，则称A为“完全集”．
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且，求A．

5 . 定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．

6 . 如果数列满足，则称之为凸数列.现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件：①；②对，有（为正常数）.
(1)若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由；
(2)若，求证：；
(3)对任何大于等于2的正整数i，j且，求证：.

7 . 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．
(1)证明“三元不等式”： ．
(2)已知函数．
①解不等式；
②对任意，恒成立，求实数的取值范围．

8 . 当，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差（等比）数列，则称为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为，且的等差数列的首项，公差.
(1)写出数列的所有3阶等差子数列；
(2)数列中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为，求证：.

9 . 我省某市为吸引游客，推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点.
(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；
(2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率.

10 . 解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组.
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=.
（i）用二阶行列式表示方程组的两个解；
（ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
(3)若存在，使得，求的取值范围.