1 . 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望．

2 . 定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．
(1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；
(2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；
(3)利用（2）中的结论，证明：当时，．（e为自然对数的底数）

3 . 已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．

4 . 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．

5 . 设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.

6 . 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
(1)判断数集是否为“数集”；
(2)已知数集是“数集”，证明：
①；
②．
(3)已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．

7 . 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为，求．

8 . 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：

近视情况	每天看电子产品的时间		合计
	超过一小时	一小时内
近视	10人	5人	15人
不近视	10人	25人	35人
合计	20人	30人	50人

附表：

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

．
(1)根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．

9 . 已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．

10 . 已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.