1 . “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.
(1)利用恒等式和，求函数和的最小值.
(2)在中，角对应的边为.
（i）求证：.
（ii）已知实数满足求二元函数的最大值.

3 . 已知正整数列满足， 且有对任意正整数恒成立.
(1)求证: 对任意，均为偶数；
(2)记，求证：.

5 . 野餐用的三脚架三只脚长度均为r，露营结束后三脚架落在森林里，有白蚁聚集到其中一只脚啃食．
(1)求证：啃食过程中三脚架顶点的运动轨迹是一段圆弧；
(2)啃食完毕后脚长变为，且垂直于地面，若未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角为，求原三角架对应四面体的体积(用表示)．

7 . 设平面内一圆，圆上有个点，将这个点两两连线，已知任意三条连线都不共点，设所有连线将圆分为了个区域．
(1)在答题卡提供的圆上画出的情形，并直接写出 ．
(2)现希望求圆内所有弦交点的个数，数学小组位同学发表了以下观点．
小明：由于两条弦会交于一点，因此我用计算；
小红：我觉得不对，时显然不成立．

小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法．

(3)数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有个顶点，条连线并切割出了个区域，则一定有，如当平面内仅有一个点时，，，显然满足公式．利用本题给出的所有信息，求．你能解释为什么取到某些值时，是的次幂吗？

8 . 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．

9 . 平面直角坐标系xOy中，有一直线与圆．过O作直线m交圆C与直线l分别于、两点．取射线OA上一点Q，使得．记Q的轨迹为E．设，，并设，．
(1)分别用含的式子和含、的式子表示，并求E的方程；
(2)设抛物线．直线交E于点M，记OM的中垂线为直线，若直线n与曲线Γ相切，求Γ的标准方程．

10 . 生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等．
(1)记的导数为，若，求；
(2)若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）．