1 . 已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.

2 . 在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为：.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为：，.

（1）若曲线，相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标；
（2）若直线与，相交于异于极点的A，B两点，求的最大值.

3 . 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，且它的焦距是短轴长的倍.
（1）求椭圆C的方程.
（2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，问是否存在非零常数λ，使k₁k₂＝λ时，的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知函数.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的最大值.（e为自然对数的底）

6 . 已知函数，函数．
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）当与的图象有公共点时，求实数的取值范围．

7 . 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.

8 . 为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；
(2)设摸球次数为，求 的分布列和数学期望

9 . 在递增的等比数列中，，，为等差数列的前项和，，.
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和.

10 . 如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，，平面平面ABC．

（1）求证：平面平面；
（2）若，，求几何体的体积.