1 . 如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面平面；
(3)设点在棱上，，求二面角的正弦值．

2 . 已知函数，．
(1)若，求在区间上的最大值；
(2)若关于的方程有且只有三个实数根，，，且．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．

3 . 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用． 某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表． ”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求图中的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；
(2)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．

5 . 如图，在三棱锥中，平面平面，，为中点且．
   
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

6 . 已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间．

7 . 已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)当时，若方程有4个不同的根，其中，且满足，求的值．

8 . 如图，三棱台的六个顶点都在球心为O的半球面上，在半球底面上，球的直径．
      
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面ABC所成角的大小．

9 . 已知函数．
(1)求；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．

10 . 如图，在三棱柱中，已知平面，且.
   
(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.