解题方法
1 . 已知函数.
(1)若曲线在其上一点处的切线的倾斜角为,求的解析式;
(2)若,不等式恒成立,求的最大值.
(1)若曲线在其上一点处的切线的倾斜角为,求的解析式;
(2)若,不等式恒成立,求的最大值.
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2 . 如图,是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链线方程为(为参数,),当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的有双曲正弦函数.(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:______.(用,表示)
(2),不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.
(2),不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:有唯一的正零点,并比较和的大小.
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3 . 第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型,我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段,其弧长为,当动点从沿曲线段运动到点时,点的切线也随着转动到点的切线,记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差).显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当越接近,即越小,就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度,因此定义(若极限存在)为曲线在点处的曲率.(其中,分别表示在点处的一阶、二阶导数)(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3,则在该抛物线上点处的曲率是多少?
(2)若函数,不等式对于恒成立,求的取值范围;
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线,点的切线与轴的交点为.若,,是数列的前项和,证明.
(2)若函数,不等式对于恒成立,求的取值范围;
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线,点的切线与轴的交点为.若,,是数列的前项和,证明.
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)若,,设函数,请求出的值域并求证:;
(2)若,,,记,且是一个三角形的三条边长,请写出方程的所有正整数解的集合;
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边,求证:在时恒成立.
(1)若,,设函数,请求出的值域并求证:;
(2)若,,,记,且是一个三角形的三条边长,请写出方程的所有正整数解的集合;
(3)若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边,求证:在时恒成立.
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解题方法
5 . 已知函数满足,且,当时,.函数.
(1)求实数的值;
(2)当时,求的解析式;
(3)设,是否存在实数,使不等式在时恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)求实数的值;
(2)当时,求的解析式;
(3)设,是否存在实数,使不等式在时恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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6 . 已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)当时,求的最值及取到最值时的值;
(3)当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的单调递增区间;
(2)当时,求的最值及取到最值时的值;
(3)当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.
(1)求的“相伴特征向量”;
(2)已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由;
(3)记向量的相伴函数为,若当时不等式恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求的“相伴特征向量”;
(2)已知,,为的相伴特征向量,,请问在的图象上是否存在一点P,使得,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由;
(3)记向量的相伴函数为,若当时不等式恒成立,求实数k的取值范围.
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8 . 已知
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若有两个零点,求的值;
(3)当时,的最大值,最小值为,若,求的取值范围.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若有两个零点,求的值;
(3)当时,的最大值,最小值为,若,求的取值范围.
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9 . 已知函数().
(1)若在上的最小值为,求a的值;
(2)证明:存在唯一零点且满足.
(1)若在上的最小值为,求a的值;
(2)证明:存在唯一零点且满足.
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解题方法
10 . 若定义在D上的函数满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中称为函数的上界,最小的M称为函数的上确界.
(1)求函数的上确界;
(2)已知函数,,证明:2为函数的一个上界;
(3)已知函数,,若3为的上界,求实数的取值范围.
参考数据:,.
(1)求函数的上确界;
(2)已知函数,,证明:2为函数的一个上界;
(3)已知函数,,若3为的上界,求实数的取值范围.
参考数据:,.
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2024-05-06更新
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182次组卷
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4卷引用:江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷