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解题方法
1 . 已知函数.
(1)求函数的极大值和极小值;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(1)求函数的极大值和极小值;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
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2 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知,若,,求实数的取值范围.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知,若,,求实数的取值范围.
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3 . 对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,则称该函数为“不动点”函数,而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论,下列说法正确的是()
A.函数有1个不动点 |
B.函数有2个不动点 |
C.若定义域为的奇函数,其图象上存在有限个不动点,则不动点个数是奇数 |
D.若在区间上存在不动点,则实数满足 |
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4 . 已知函数,若不等式的解集中有且仅有一个整数,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
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5 . 对于函数,下列说法正确的是( )
A.在处取得极大值 | B.有两个不同的零点 |
C. | D. |
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6 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:上的曲线段,其弧长为,当动点从A沿曲线段运动到B点时,A点的切线也随着转动到B点的切线,记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差).显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当B越接近A,即越小,K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度,因此定义(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中,分别表示在点A处的一阶、二阶导数);(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率;
(2)求椭圆在处的曲率;
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和,且P,Q处的“柯西曲率”相同,求的取值范围.
(2)求椭圆在处的曲率;
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和,且P,Q处的“柯西曲率”相同,求的取值范围.
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7 . 关于函数,下列判断正确的是( )
A.的极大值点是 |
B.函数在上有唯一零点 |
C.存在实数,使得成立 |
D.对任意两个正实数,若,则 |
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8 . 已知函数对定义域内任意,都有,则正实数取值范围为( )
A. | B. | C. | D. |
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9 . 已知函数,,其中为常数.
(1)若时,求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)若时,求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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10 . 已知函数,.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,记的极小值点为.
(ⅰ)证明:存在唯一零点;
(ⅱ)求证:.
(参考数据:)
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,记的极小值点为.
(ⅰ)证明:存在唯一零点;
(ⅱ)求证:.
(参考数据:)
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