名校
1 . 根据多元微分求条件极值理论,要求二元函数在约束条件的可能极值点,首先构造出一个拉格朗日辅助函数,其中为拉格朗日系数.分别对中的部分求导,并使之为0,得到三个方程组,如下:
,解此方程组,得出解,就是二元函数在约束条件的可能极值点.的值代入到中即为极值.
补充说明:【例】求函数关于变量的导数.即:将变量当做常数,即:,下标加上,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导.
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值.
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数满足,求的最大值.
(3)①若为实数,且,证明:.
②设,求的最小值.
,解此方程组,得出解,就是二元函数在约束条件的可能极值点.的值代入到中即为极值.
补充说明:【例】求函数关于变量的导数.即:将变量当做常数,即:,下标加上,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导.
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值.
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数满足,求的最大值.
(3)①若为实数,且,证明:.
②设,求的最小值.
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2 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若且,求证:.
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2023·全国·模拟预测
3 . 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在不相等的实数,,使得,证明:.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在不相等的实数,,使得,证明:.
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名校
解题方法
4 . 函数及其导函数的定义域均为R,且,,则( )
A.为偶函数 | B.的图象关于直线对称 |
C. | D. |
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2023-09-15更新
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896次组卷
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2卷引用:江苏省南京市2024届高三上学期9月学情调研数学试题
5 . 已知函数及其导函数的定义域均为,若函数,都为偶函数,令,则下列结论正确的有( )
A.的图象关于对称 | B.的图象关于点对称 |
C. | D. |
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2023-09-10更新
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1019次组卷
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3卷引用:江苏省常州高级中学2024届高三上学期期初检测数学试题
名校
6 . 定义:若函数图象上存在相异的两点,满足曲线在和处的切线重合,则称是“重切函数”,,为曲线的“双重切点”,直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为______ .
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2023-05-27更新
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717次组卷
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2卷引用:江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试题
解题方法
7 . 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,证明:.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,证明:.
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名校
8 . 已知函数 .
(1)当时,求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为,求的最大值.
(1)当时,求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为,求的最大值.
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2023-03-23更新
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1715次组卷
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9卷引用:江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题
江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题(已下线)第96练 计算速度训练16(已下线)专题07 导数(已下线)专题16 押全国卷(文科)第20题 导数(已下线)押新高考第22题 导数综合解答题专题07导数及其应用(解答题)河南省南阳市第一中学校2023届高三第三次模拟考试文数试题河南省许昌市鄢陵县第一高级中学2023届高三下学期高考全真模拟押题数学(文)试题江西省先知高考2024届高三上学期第二次联考数学试题
名校
9 . 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若,且对任意恒成立,求实数的取值范围.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若,且对任意恒成立,求实数的取值范围.
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2023-02-16更新
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800次组卷
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2卷引用:江苏省扬州中学2022-2023学年高三下学期3月质量检测数学试题
名校
解题方法
10 . 设定义在上的函数与的导函数分别为和,若,,且为奇函数,,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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2022-12-13更新
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1250次组卷
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5卷引用:江苏省扬州市仪征中学、江都中学2022-2023学年高三上学期期末阶段联考数学试题