名校
1 . 定义向量
的“对应函数”为
；函数的“对应向量”为（其中
为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为
(1)设
，求证：
(2)已知
且
，
是函数
的“对应向量”，
，求
(3)已知
，向量的“对应函数”
在
处取得最大值，当
变化时，求
的取值范围
的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为(1)设
，求证：(2)已知
且，是函数的“对应向量”，，求(3)已知
，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围
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名校
解题方法
2 . 若定义在D上的函数
满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称是D上的有界函数，其中
称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．
(1)求函数
的上确界；
(2)已知函数
，
，证明：2为函数的一个上界；
(3)已知函数
，
，若3为的上界，求实数
的取值范围．
参考数据：
，
．
满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界．(1)求函数
的上确界；(2)已知函数
，，证明：2为函数的一个上界；(3)已知函数
，，若3为的上界，求实数的取值范围．参考数据：
，．
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2024-04-30更新
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204次组卷
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4卷引用：江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
3 . 有如下条件：
①对
，
，2，
，均有
；
②对，，2，，均有
；
③对，，2，3，
；若
，则均有
；
④对，，2，3，；若，则均有
.
(1)设函数
，
，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
(2)设
，比较函数
，
，
值的大小，并说明理由；
(3)设函数
，满足条件②，求证：
的最大值
.（注：导数法不予计分）
①对
，，2，，均有；②对
，，2，，均有；③对
，，2，3，；若，则均有；④对
，，2，3，；若，则均有.(1)设函数
，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；(2)设
，比较函数，，值的大小，并说明理由；(3)设函数
，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）
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2024-02-23更新
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511次组卷
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5卷引用：北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
4 . 已知函数
(1)求方程
在
上的解集
(2)设函数
，
.
①证明：
在区间
上有且只有一个零点；
②记函数的零点为
，证明：
(1)求方程
在上的解集(2)设函数
，.①证明：
在区间上有且只有一个零点；②记函数
的零点为，证明：
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2024-03-27更新
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344次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题
名校
5 . 为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域
进行改造．如图，
（百米），
（百米），
，
，
，，
，
分别为边
，
，
的中点，
所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道
，
，
，
以及两条主干道，
．（单位：百米）
，求主干道的长；
(2)当
变化时，
①证明运动健身区域的面积为定值，并求出该值；
②求4条观景栈道总长度的取值范围．
进行改造．如图，（百米），（百米），，，，，，分别为边，，的中点，所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道，，，以及两条主干道，．（单位：百米）
，求主干道的长；(2)当
变化时，①证明运动健身区域
的面积为定值，并求出该值；②求4条观景栈道总长度的取值范围．
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名校
6 . 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若
分别为边
上的动点，当
的周长为2时，
有最小值（图1）、
为定值（图2）、
到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．的最小值；
(2)如图2，证明：为定值；
(3)如图3，证明：到的距离为定值．
某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
的最小值；(2)如图2，证明：
为定值；(3)如图3，证明：
到的距离为定值．
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7 . 已知函数
的图象关于直线
对称.
(1)求证：函数
为奇函数.
(2)将的图象向左平移
个单位，再将横坐标伸长为原来的
倍，得到
的图象，求的单调递增区间.
的图象关于直线对称.(1)求证：函数
为奇函数.(2)将
的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间.
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2023-11-16更新
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321次组卷
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2卷引用：山西省运城市2024届高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
8 . 已知函数
的定义域为
且满足：对任意的
，有
恒成立，则称
为“
”函数.
(1)分别判断
和
是否为“”函数.（直接写出结果）
(2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的
，
，都有：
.
的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数.(1)分别判断
和是否为“”函数.（直接写出结果）(2)若
为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：.
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名校
解题方法
9 . 对于有穷数列
，若存在等差数列
，使得
，则称数列
是一个长为
的“弱等差数列”.
(1)证明:数列
是“弱等差数列”;
(2)设函数
，在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，证明： 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.
，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.(1)证明:数列
是“弱等差数列”;(2)设函数
，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”;(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”
，且是等比数列.
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名校
10 . 锐角
的内角
，
，的对边分别为
，
，
，设
.
(1)求证：内角
；
(2)若
，求的面积的最大值．
的内角，，的对边分别为，，，设.(1)求证：内角
；(2)若
，求的面积的最大值．
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