1 . 设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．

2 . 已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．

3 . 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.

4 . 已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．

5 . 已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．

6 . 已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.

7 . 已知数列的前项和是的二次函数，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列．

8 . 已知为数列的前项和，为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的最大值；
(3)设，证明：.

9 . 在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.

10 . 已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．