2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 用“夹逼法”可以估算
，比如可以用如下操作估算
：由于
，所以
，即在2和3之间；进一步，由于
，且
，所以在2.2和2.3之间；如法炮制，可以估算在2.23和2.24之间……．如此下去，可以估算不同精确度下的近似值，同时也可以确定与最接近的整数值．如果用
表示最接近的正整数，则
______ ．
，比如可以用如下操作估算：由于，所以，即在2和3之间；进一步，由于，且，所以在2.2和2.3之间；如法炮制，可以估算在2.23和2.24之间……．如此下去，可以估算不同精确度下的近似值，同时也可以确定与最接近的整数值．如果用表示最接近的正整数，则
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解题方法
2 . 已知首项为1的正项数列
，其前
项和
．用
表示不超过
的最大整数，则
______ ．
，其前项和．用表示不超过的最大整数，则
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3 . 已知数列满足：
，定义：
表示整数
除以4的余数与整数
除以4的余数相同，例：
．设
，其中
，数列
的前项和为
，则
______ ；满足
的
最小值为______ ．
满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则的最小值为
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4 . “
序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于
或1.设
是一个有限“序列”，
表示把中每个
都变为，每个0都变为
，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：
，则
.定义
，
，若
中1的个数记为
，则
的前10项和为______ .
序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为
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解题方法
5 . 给定一个
元函数组：
，若对任意正整数，均有
，则把
称作该函数组的“初始函数”.已知
是函数组，
的“初始函数”，且
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设
，记
，数列
的前项和为.
是三个互不相等的正整数，若
，求
除以4的余数.
元函数组：，若对任意正整数，均有，则把称作该函数组的“初始函数”.已知是函数组，的“初始函数”，且.(1)求函数
的单调区间；(2)设
，记，数列的前项和为.是三个互不相等的正整数，若，求除以4的余数.
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解题方法
6 . 已知数列
：0，2，0，2，0，现按规则
：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列
，
，则数列
的项数为________ ，设的所有项的和为，则
________ .
：0，2，0，2，0，现按规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列，，则数列的项数为的所有项的和为，则
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7 . 对于数列，及常数p，若满足
，且
，则称对关于p耦合．
(1)若对关于0耦合，且
，
，求
；
(2)若对关于1耦合，且
，求，的通项公式；
(3)若存在
，
，使得对关于耦合，且
对
关于耦合，证明：，
．
，及常数p，若满足，且，则称对关于p耦合．(1)若
对关于0耦合，且，，求；(2)若
对关于1耦合，且，求，的通项公式；(3)若存在
，，使得对关于耦合，且对关于耦合，证明：，．
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解题方法
8 . 已知函数
，数列满足
，
，
，则
__________ ．
，数列满足，，，则
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9 . 已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且
，
，
，
．
(1)求数列{，的通项公式；
(2)设
，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
．
是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．(1)求数列{
，的通项公式；(2)设
，（ⅰ）求
；（ⅱ）求
．
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名校
10 . 已知
且
，函数
.
(1)记
为数列的前项和.当
时，试比较
与2024的大小，并说明理由；
(2)当
时，证明：
；
(3)当且时，试讨论
的零点个数.
且，函数.(1)记
为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；(2)当
时，证明：；(3)当
且时，试讨论的零点个数.
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