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1 . 双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左、右焦点,从右焦点发出的光线交双曲线右支于点,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为,下列结论正确的是______ .①若,则;
②当过时,光由所经过的路程为;
③射线所在直线的斜率为,则;
④若,直线与相切,则.
②当过时,光由所经过的路程为;
③射线所在直线的斜率为,则;
④若,直线与相切,则.
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2 . 已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与左支交于两点,若,且双曲线的实轴长为,则的周长为______ .
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3 . 已知双曲线的方程为,其左、右焦点分别是,点坐标为,双曲线上的满足,则_____________ .
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4 . 双曲线的左右焦点分别为,过坐标原点的直线与相交于两点,若,则_________ .
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5 . 设,是椭圆与双曲线(,)的公共焦点,曲线,在第一象限内交于点M,,若椭圆的离心率,则双曲线的离心率的取值范围是______ .
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6 . 已知二次曲线的方程为: ,当m,n为正整数,且时存在两条曲线,其交点P与点满足,则__________
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7 . 已知双曲线,,分别为其左、右焦点.(1)求,的坐标和双曲线的渐近线方程;
(2)如图,是双曲线右支在第一象限内一点,圆是△的内切圆,设圆与,,分别切于点,,,当圆的面积为时,求直线的斜率;
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,且使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
(2)如图,是双曲线右支在第一象限内一点,圆是△的内切圆,设圆与,,分别切于点,,,当圆的面积为时,求直线的斜率;
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于,两点,且使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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8 . 已知分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上两点,满足,且,则双曲线的离心率为______ .
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9 . 在三棱锥中,,且,则二面角的余弦值的最小值为______ .
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10 . 设双曲线的左焦点和右焦点分别是,点是右支上的一点,则的最小值为______ .
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