1 . 已知数列满足，，对有，为正整数，使成立的的值为______.

2 . 若实数，且，则的最小值为______.

3 . 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是__________nmile.

4 . 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为___________.

5 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后得到，依次施行变换后所得到的数组成数列，是数列的前项和，若，则________．

6 . 若，，且，则的最大值为__________.

7 . 若，则的最小值为_______________.

8 . 已知等差数列，且，则数列的公差为__________．

9 . 一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）．
   
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2023个圆中有个______实心圆．

10 . 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，，则______．