1 . 求证 ：直角坐标平面上的格点凸七边形（每个顶点均为格点———纵 、横坐标均为整数的点）的内部最少包含四个格点.
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2 . 如图，
分别为双曲线
的左、右焦点，P为双曲线右支上一点（除去右顶点），
与
的边
相切，与边
的延长线也都相切.当点P在双曲线的右支上运动时，圆心A的轨迹方程为_________ .
分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点（除去右顶点），与的边相切，与边的延长线也都相切.当点P在双曲线的右支上运动时，圆心A的轨迹方程为
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3 . 椭圆
的左焦点为
，直线
与椭圆交于
两点，且
．则
的最大值为_______________ ．
的左焦点为，直线与椭圆交于两点，且．则 的最大值为
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4 . 点
到点
、
及直线
的距离都相等．这样的点若存在且只有一个，则
的值为______ ．
到点、及直线的距离都相等．这样的点若存在且只有一个，则的值为
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5 . 求椭圆
的内接三角形面积的最大值．
的内接三角形面积的最大值．
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6 . 设
为坐标平面上坐标为
的点，其中
为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1）三角形的三个顶点都是整点，而且是直角顶点；
（2）三角形的内心是坐标原点.
为坐标平面上坐标为的点，其中为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：（1）三角形的三个顶点都是整点，而且
是直角顶点；（2）三角形的内心是坐标原点.
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7 . 如果在一条平面曲线上存在四点，使得这四点构成的图形是一个菱形，则称该曲线存在内接菱形．现已知双曲线
，双曲线
，其中
，
，
．证明：在双曲线
与
中有且仅有一条存在内接菱形．
，双曲线，其中，，．证明：在双曲线与中有且仅有一条存在内接菱形．
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8 . 
为固定的整数，定义任意整数坐标点
关于
的余数是
关于的余数.找出所有正整数数组
，使得以
、
、、
为顶点的长方形具有如下性质：
ⅰ.长方形内整数点以
为余数出现的次数相同；
ⅱ.长方形边界上整数点以为余数出现的次数相同.
为固定的整数，定义任意整数坐标点关于的余数是关于的余数.找出所有正整数数组，使得以、、、为顶点的长方形具有如下性质：ⅰ.长方形内整数点以
为余数出现的次数相同；ⅱ.长方形边界上整数点以
为余数出现的次数相同.
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9 . 已知动直线l与圆O：
相切，与椭圆
相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.
相切，与椭圆相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.
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10 . 已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率
，直线y=2x－1与C交于A、B两点，且
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记
，求λ的取值范围．
（a>b>0）的离心率，直线y=2x－1与C交于A、B两点，且 ．（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记
，求λ的取值范围．
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