1 . 阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出       ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．

2 . 如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点．

(1)如图，当，时
求证：；
连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；
(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值．

3 . 如图，在正方形中，点是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
   
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图）；
(2)求证：．

4 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．

5 . 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．

6 . 如图，正方形中，M为对角线上的一动点，连接并延长交于点P，若，则的度数为______°．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括），作，垂足为，且，过点作射线．

(1)请直接写出C点的坐标；
(2)在M点的运动过程中，试证明的度数为定值；
(3)连接交于，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．

8 . 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______．

   

9 . 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．

10 . 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接

(1)求证：．
(2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与重合），判断的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长．