1 . 如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．

   

(1)求的度数；
(2)如图2，连接，若，求线段的长；
(3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长．

2 . 如图，在正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于点H，连接交于点M，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是（　　）

A．②③④

B．①②③

C．①③④

D．①②④

3 . 已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，．

(1)求证：；
(2)若， 则的值是______．
(3)①求（用x的代数式表示）
②若，求x的值
③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；

4 . 已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持．

   

【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值．

5 . A、B是的边上两定点，E是边上一动点，分别以为边在上方同侧作正方形、正方形．

(1)如图①，，，，连接．
①求证；
②当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；
(2)如图②，，连接，当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由．

6 . 如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)如图2，连接，点分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．

7 . 如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为_____．

8 . 【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠，如图1，具体操作过程如下：
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接，观察所得到的，，，这三个角有什么关系？你能证明吗？
【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图2，当点在上时，         ，           ；
改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，试判断的度数是否为定值，并说明理由．
【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长．

9 . （1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．

10 . 如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，．

(1)请判断：与的数量关系是______，位置关系是_____；
(2)如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．